Центр тяжести двутавра и швеллера

Центр тяжести двутавра и швеллера

Задачи №№ 21-30 можно решать после изучения темы 1.4 "Центр тяжести" и внимательного разбора примера 3.

В этих задачах требуется находить центры тяжести плоских фигур, составленных из простых геометрических фигур. Положе­ние центра тяжести плоской фигуры определяется по формулам:

xc=

yc=

где хс и ус — искомые координаты центра тяжести фигуры;

xi и yi — координаты центров тяжести составных частей фигуры;

Аi — площади составных частей.

Последовательность решения таких задач рассмотрена в примере 3.

Для заданного сечения, составленного из приваренных друг к другу прокатных профилей, определить положение центра тя­жести (рис. 8).

Данное сложное сечение представляем состоящим из двух простых частей:

1 — двутавра № 16

Чертим сложное составное сечение в масштабе.

Проводим оси координат так, чтобы все сечение было рас­положено в первом квадранте. Геометрические характеристики (площади сечений) двутавра и швеллера, а также необходимые их размеры берем из таблиц 16, 17 сортамента прокатной стали (см. приложения). Все расчеты ведем в сантиметрах, т.к. в таблицах ГОСТов на профили проката размеры даны в сантиметрах.

Для двутавра № 16 – А1 ,=20,2 см 2

Для швеллера № 20 — А2=23,4 см 2 .

Определяем координаты центров тяжести швеллера и двутавра:

9 Центр тяжести всего сечения определяем по формулам:

10 Центр тяжести с всего сечения показан на рис. 8.

Цель работы: научить определять центр тяжести сложных сечений.

1. Разбивают сечение на простые фигуры. В задачах такими фигурами являются стандартные профили проката. Обычно профили прокатной стали, образующие сечение, обозначают цифрами 1,2,3… .

2. Указывают центры тяжести каждого профиля (фигуры) и обозначают их С 1 , С2…, Сn, используя таблицы ГОСТОв (см. прилож.1.)

3. Выбирают систему координатных осей. Рекомендуется одну из координатных осей совмещать с осью симметрии. Вторую ось координат направляют перпендикулярно первой так, чтобы она пересекла центры тяжести одной или нескольких фигур. При этом начало координат может совпадать (или не совпадать) с центром тяжести из фигур. Вторую ось можно направить так, чтобы она прошла через нижнюю (крайнюю) точку сечения. В первом случае вычисления будут более простыми.

Читайте также:  Когда лучше раскислить почву

4. Составляют формулы для определения координат центра тяжести сечения:

1) хс = ;

2) ус = .

Пользуясь таблицами ГОСТов (см. прилож. 1), определяют площади профилей проката А1, А2…, Аn, координаты их центров тяжести х1, х2,…хn и у1, у2,…уn относительно выбранных осей координат. Число слагаемых в числите и знаменателе формул зависит от числа профилей, из которых состоит сечение. Полученные величины подставляют в формулу и находят хс и ус.

Следует помнить, что если ось х совмещена с осью симметрии, то координата ус = 0, а если ось у совмещена с осью симметрии, то хс =0.

5. Указывают положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба, и показывают расстояние от центра тяжести до координат осей.

6. Выполняют проверку правильности решения, для чего можно изменить положение координатных осей (или одной оси) и найти координаты центра тяжести относительно новых осей. Положение центра тяжести не зависит от того, как выбрана система координатных осей.

Пример 3.1. Определить координаты центра тяжести сечения, составленного из профилей проката, как показано на рис.3. Сечение состоит из двутавровой балки № 33, швеллера № 27, двух уголков 90х56х6 мм и листа сечением 12х180 мм.

Решение 1.Разобьем сечение в соответствии с профилями проката и обозначим их 1,2,3,4,5.

2. Пользуясь таблицей укажем центры тяжести каждого профиля и обозначим их С1, С2, С3, С4, и С5.

3. Выберем систему осей координат. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х направим перпендикулярно оси у и проведем через центр тяжести двутавровой балки.

4. Выпишем формулы для определения координат центра тяжести сечения:

Читайте также:  Как сделать поделку на осень бесплатно

хс = 0, так как ось у совпадает с осью симметрии;

ус = .

ус = .

Определим площади и координаты центров тяжести отдельных профилей проката, используя сечение и таблицы 2,3,4 прилож. 1

А5 = 1,2 ·18 = 21,6 см 2 ;

у1 = hдв/2 + dшв –z0(шв) =

у2 = у3 = hдв/2 + dшв – bшв + х0(уг) =

у4 = 0, так как ось х проходит через центр тяжести двутавра;

у5 = — (hдв/2 + δлиста/2) = —

Поставим полученные значения в формулу для определения ус:

ус =

Укажем положение центра тяжести сечения С (см рис. 3 а).

5. Проверка решения. Проведем ось х по нижней грани листа (рис. 3 б.). Площади профилей останутся теми же, а координаты центров тяжести изменятся:

у4 = δлиста + hдв/2 = 1,2 +

у5 = δлиста /2 = .

Определим положение центра тяжести в новой системе координат

ус =

Разность между координатами центра тяжести должна быть равна расстоянию между осями х в первом и во втором решении:

20,3 – 2,33 = + 1,2,

откуда 17,7 см = 17,7 см.

Ответ: ус = 2,33 см, если ось х проходит через С4 , и ус = 20,03 см, если ось х проходит по нижней грани.

Продолжение таблицы № 1

Продолжение таблицы № 2

Список литературы

1. А.И. Аркуша «Техническая механика». Высшая школа 2003.

2. В.Э. Зависновский, Н.М. Захаров. «Техническая механика» ООО «Амалфея» 2000 г.

3. В.И. Сетков. Сборник задач по технической механике». М.: 2003.

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4 х простых фигур:

I – швеллера №30 а ,

II – прямоугольника 2×40см,

Читайте также:  Пластификатор в мыле что это

III – двутавра №20 а ,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30 а

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20 а .

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси хi, уi.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х‘ и у (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А1=43,89см 2 , А2=2×40=80см 2 ,

Координаты центров тяжести отдельных фигур:

Площадь всего сечения А=182,7см 2 .

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей хс, усбудут:

Этап 2. Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей хс, ус.

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

Положительный угол α соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

тогда

Проверки.

  1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность Запись опубликована 11.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector